平面図形で難しいのが相似形の問題です。今回は読むのが大変かもしれません。適当に読み飛ばしてください<(_ _)>
＜例題１＞ 三角形ＡＢＣにおいて，ＡＥ：ＥＢ＝１：１，ＡＤ：ＤＣ＝１：２です。ＢＤとＣＥの交点をＦとするとき，ＢＦ：ＦＤを求めなさい。
（注：実際の入試問題では図のような分割表示は書かれません。）
＜解法１＞ 一般的には次のような解法が多く用いられているようです。
ＡとＦを結びます。辺の長さ比から，三角形ＡＥＦと三角形ＢＥＦは同じ面積です。これを
と表します。また，三角形ＡＦＤと三角形ＣＦＤの面積比は１：２です。これを①，②と表します。ＡＤ：ＤＣ＝１：２より，三角形ＡＢＦ：三角形ＣＢＦ＝１：２となり，三角形ＣＢＦ＝
です。ＡＥ：ＥＢ＝１：１より，三角形ＡＣＦ＝三角形ＢＣＦとなり，③＝となります。よって，①：＝４：３とわかります。ＢＦ：ＦＤ＝三角形ＡＢＦ：三角形ＡＦＤ＝
：①ですが，①：＝４：３より，：①＝６：４＝３：２となります。
以上から，ＢＦ：ＦＤ＝３：２です。
＜解法２＞ 上の方法はあまり良い方法ではありません。点Ｆは不明な点なので，そこに補助線を引くと面倒なことになるからです。私は次のように補助線を引いています。点Ｄから辺ＡＢに平行線を引き，ＣＥとの交点をＧとします。三角形ＣＤＧと三角形ＣＡＥは相似で，相似比はＣＤ：ＣＡ＝２：３です。よって，ＤＧ＝②とすると，対応するＡＥ＝③です。三角形ＤＦＧと三角形ＢＦＥも相似ですが，ＡＥ＝ＥＢより，相似比はＤＧ：ＢＥ＝２：３となります。よって，対応する辺ＤＦ：ＢＦ＝２：３より，ＢＦ：ＦＤ＝３：２です。
相似形の補助線の引き方は，分割されている点（上の場合Ｄ）から分割されている辺（上の場合辺ＡＢ）に平行に引くのがポイントです。すると，同じ向きの相似形（三角形ＣＤＧと三角形ＣＡＥ）と，逆向きの相似形（三角形ＤＦＧと三角形ＢＦＥ）ができるので，それを使って解きます。この方法に慣れると，かなり高度な問題でも解けるようになります。
＜例題２＞ 私のオリジナルの問題です(^o^) 補助線は引きません。
図のような直角三角形ＡＢＣをＢＤで折り返したところ，頂点Ｃは辺ＡＢ上の点Ｅにきました。三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。
＜解法＞ 三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥは相似です。相似比はＤＥ：ＣＢ＝１：２なので，面積比は１×１：２×２＝４になります。三角形ＡＤＥ＝とすると，三角形ＡＢＣ＝なので，図のように四角形ＥＢＣＤ＝
となります。四角形ＥＢＣＤ＝２ｃｍ２より，三角形ＡＢＣの面積は，
ｃｍ２です。
この問題を女子御三家クラスの授業で出したのですが，桜蔭に合格したＫさんにあっという間に解かれてしまいました。なお余談ですが，三角形ＡＢＣは３：４：５の直角三角形になっています。じつは，１：２の直角三角形を折り返すと３：４：５の直角三角形ができるのです。２：３だと５：１２：１３の直角三角形ができます。これも私が発見したのです。大発見と思いましたが何の役にも立っていません。(>_<)
今回のテーマは，読みにくかったと思います。平面図形は一休みします。次回から「自主性」について２回続けて書いていきます。お付き合いください(^o^)
